Rozważmy układ równań różniczkowych postaci
\( x^\prime(t)=A\cdot x(t), \)
gdzie
\( A=\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots & \ddots & \vdots\\a_{n1}&\cdots &a_{nn} \end{bmatrix},\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc a_{ij}\in \mathbb{R},\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc x(t)=\begin{bmatrix}x_1(t)\\\vdots\\x_n(t)\end{bmatrix}. \)
Omówimy wyznaczanie układu fundamentalnego dla układu ( 1 ) gdy wartości własne macierzy \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) są jednokrotne, ale nie wszyskie rzeczywiste.
Niech
\( w(\lambda )=p_n\lambda ^n+p_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +p_1\lambda +p_0 \)
będzie wielomianem o współczynnikach rzeczywistych.
Jeżeli \( \hskip 0.3pc\lambda =\alpha+\beta i\hskip 0.3pc \) jest miejscem zerowym tego wielomianu to liczba sprzężona \( \hskip 0.3pc\overline {\lambda} =\alpha -\beta i\hskip 0.3pc \) jest również miejscem zerowym tego wielomianu.
Istotnie, z własności sprzężenia dla liczb zespolonych mamy
\( 0=\overline {p_n\lambda ^n+p_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +p_1\lambda +p_0}=p_n\overline{\lambda} ^n+p_{n-1}\overline {\lambda} ^{n-1}+\cdots +p_1\overline {\lambda} +p_0 \)
więc \( \hskip 0.3pc\overline{\lambda}\hskip 0.3pc \) jest mniejscem zerowym wielomianu ( 2 )
Wartości własne macierzy \( \hskip 0.3pcA\hskip 0.3pc \) są miejscami zerowymi wielomianu:
\( \vert A-\lambda I\vert =p_n\lambda ^n+p_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +p_1\lambda +p_0=0 \)
Z uwagi 1 wynika, że jeżeli \( \hskip 0.3pc\lambda\hskip 0.3pc \) jest zespoloną wartością własną macierzy \( \hskip 0.3pcA\hskip 0.3pc \) to \( \hskip 0.3pc\overline{\lambda}\hskip 0.3pc \) jest też wartością własną macierzy \( \hskip 0.3pcA\hskip 0.3pc \).
Jeżeli \( \hskip 0.3pc\lambda\hskip 0.3pc \) jest zespoloną wartością własną macierzy \( \hskip 0.3pcA\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pcv\hskip 0.3pc \) jest wektorem własnym odpowiadającym tej wartości własnej to \( \hskip 0.3pc\overline {v}\hskip 0.3pc \) jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej sprzężonej \( \hskip 0.3pc\overline {\lambda}\hskip 0.3pc \).
Istotnie, z własności sprzężenia dla liczb zespolonych mamy
\( 0=\overline{(A-\lambda I)\cdot v}=\overline{(A-\lambda I)}\cdot \overline{v}=(A-\overline{\lambda}I)\cdot \overline{v} \)
więc \( \hskip 0.3pc\overline{v}\hskip 0.3pc \) jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \( \hskip 0.3pc\overline{\lambda }.\hskip 0.3pc \)
Niech \( \hskip 0.3pc\lambda =\alpha+\beta i\hskip 0.3pc \) będzie zespoloną wartością własną macierzy \( \hskip 0.3pcA\hskip 0.3pc \) a \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) wektorem własnym odpowiadającym tej wartości własnej.
Z uwagi 2 wynika, że funkcje \( \hskip 0.3pc ve^{\lambda t},\hskip 0.3pc \overline {v}e^{\overline{\lambda} t}\hskip 0.3pc \) są liniowo niezależnymi rozwiązaniami układu ( 1 ).
Korzystając z zależności
\( e^{\lambda t}=e^{\alpha t+\beta t i}=e^{\alpha t}e^{\beta t i}=e^{\alpha t}(\cos (\beta t)+i\sin(\beta t)), \)
funkcje \( \hskip 0.3pc ve^{\lambda t},\hskip 0.3pc \overline {v}e^{\overline{\lambda} t}\hskip 0.3pc \) można zapisać następująco:
\( \begin{aligned}ve^{\lambda t}=(\Re (v)+ i\Im (v))e^{\alpha t}(\cos (\beta t)+i\sin(\beta t))=e^{\alpha t}[\Re (v)\cos (\beta t)-\Im (v)\sin(\beta t)+i(\Re (v)\sin (\beta t)+\Im (v)\cos(\beta t))],\end{aligned} \)
\( \begin{aligned}\overline {v}e^{\overline{\lambda} t}=(\Re (v)- i\Im (v))e^{\alpha t}(\cos (\beta t)-i\sin(\beta t))=e^{\alpha t}[\Re (v)\cos (\beta t)-\Im (v)\sin(\beta t)-i(\Re (v)\sin (\beta t)+\Im (v)\cos(\beta t))]\end{aligned} \)
gdzie \( \hskip 0.3pc\Re\hskip 0.3pc \) oznacza część rzeczywistą a \( \hskip 0.3pc\Im\hskip 0.3pc \) część urojoną.
Ponieważ zbiór rozwiązań układu równań różniczkowych ( 1 ) jest przestrzenią wektorową to następujące funkcje,
\( x_1(t)=\frac{1}{2}(ve^{\lambda t}+\overline {v}e^{\overline{\lambda} t})=\Re (ve^{\lambda t})=e^{\alpha t}(\Re (v)\cos(\beta t)-\Im(v)\sin (\beta t)), \)
\( x_2(t)=\frac{1}{2i}(ve^{\lambda t}-\overline {v}e^{\overline{\lambda} t})=\Im (ve^{\lambda t})=e^{\alpha t}(\Re (v)\sin(\beta t)+\Im(v)\cos (\beta t)) \)
są liniowo niezależnymi rozwiązaniami tego układu.
Stąd wynika, że dla wartości własnych zespolonych \( \hskip 0.3pc\lambda\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc\overline {\lambda}\hskip 0.3pc \) wystarczy wyznaczyć tylko wektor własny \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) dla wartości własnej \( \hskip 0.3pc \lambda \).
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych
( 1 ) gdy
\( A= \begin{bmatrix}1&-1&2\\-1&1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}. \)
Wyznaczamy wartości własne macierzy \( \hskip 0.3pcA\hskip 0.3pc \)
\( \vert A-\lambda I\vert =\begin{vmatrix} 1-\lambda &-1&2\\ -1&1-\lambda& 0\\-1&0&1-\lambda \end{vmatrix}=(1-\lambda )[(1-\lambda)^2+1]=0 \)
więc \( \hskip 0.3pc\lambda_1=1,\hskip 0.3pc \lambda_2=1+i,\hskip 0.3pc \lambda_3=1-i\hskip 0.3pc \) są jednokrotnymi wartościami własnymi macierzy \( \hskip 0.3pcA. \)
Wyznaczymy teraz kolejno podprzestrzenie własne \( \hskip 0.3pcV_1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pcV_2\hskip 0.3pc \) odpowiadające wartościom własnym \( \hskip 0.3pc\lambda_1,\hskip 0.3pc \lambda_2. \)
Jeśli \( \lambda_1=1. \)
Wtedy
\( V_1=\{x:\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc (A-I)\cdot x=0,\}\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc {\rm gdzie}\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}. \)
Rozwiązujemy układ równań
\( \begin{bmatrix}0&-1&2\\-1&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\hskip 0.3pc \Longleftrightarrow \hskip 0.3pc \begin{cases}-x_2+2x_3=0&\\-x_1=0&\end{cases}\hskip 0.3pc \Longleftrightarrow \hskip 0.3pc \begin{cases}x_2=2x_3&\\x_1=0.&\end{cases} \)
Zatem
\( V_1=\left\lbrace \begin{bmatrix}\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc 0\\2x_3\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\2\\1\end{bmatrix}x_3,\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc \hskip 0.3pc x_3\in \mathbb{R}\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc \right\rbrace. \)
Niech \( \hskip 0.3pcv_1=\begin{bmatrix}0\\2\\1\end{bmatrix},\hskip 0.3pc \) wtedy funkcja
\( x_1(t)=v_1e^t=\begin{bmatrix}0\\2\\1 \end{bmatrix}e^t, \)
jest rozwiązaniem układu
( 1 ).
Jeśli \( \lambda_2=1+i. \)
Wtedy
\( V_2=\{x:\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc (A-(1+i)I)\cdot x=0\}. \)
Rozwiązujemy układ równań
\( (A-(1+i)I)\cdot x=0\hskip 0.3pc: \)
\( \begin{bmatrix}-i&-1&2\\-1&-i&0\\-1&0&-i\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\hskip 0.3pc \Longleftrightarrow \hskip 0.3pc \begin{cases}-ix_1-x_2+2x_3=0&\\-x_1-ix_2=0&\\-x_1-ix_3=0&\end{cases}\hskip 0.3pc \Longleftrightarrow \hskip 0.3pc\begin{cases}x_1=-ix_3&\\x_2=x_3.&\end{cases} \)
Zatem
\( V_2=\left\lbrace \begin{bmatrix}\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc -ix_3\\x_3\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-i\\1\\1\end{bmatrix}x_3,\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc \hskip 0.3pc x_3\in \mathbb{R}\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc \right\rbrace\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc i \hskip 0.3pc \hskip 0.3pc \hskip 0.3pc v_2=\begin{bmatrix}-i\\1\\ 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1\\ 0\\ 0\end{bmatrix}i. \)
Ponieważ
\( \Re(v_2)=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}\hskip 0.7pc {\rm i} \hskip 0.7pc \Im (v_2)=\begin{bmatrix}-1\\0\\0\end{bmatrix}. \)
to z zależności
( 3 ) i
( 4 ) wynika, że funkcje
\( x_2(t)=\left(\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}\cos t- \begin{bmatrix}-1\\0\\0\end{bmatrix}\sin t\right)e^t, \)
\( x_3(t)=\left(\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}\sin t+\begin{bmatrix}-1\\0\\0\end{bmatrix}\cos t\right)e^t. \)
są liniowo niezależnymi rozwiązaniami rozpatrywanego układu, odpowiadające wartościom własnym \( \hskip 0.3pc\lambda_2\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc\lambda_3\hskip 0.3pc \)
Rozwiązanie ogólne układu ( 1 ) ma postać:
\( x(t)=c_1\begin{bmatrix}0\\2 \\1\end{bmatrix}e^t+c_2\left(\begin{bmatrix}0\\1 \\1\end{bmatrix}\cos t- \begin{bmatrix}-1\\ 0 \\0\end{bmatrix}\sin t\right)e^t+c_3\left(\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}\sin t+\begin{bmatrix}-1\\0\\0\end{bmatrix}\cos t\right)e^t \)
gdzie \( \hskip 0.3pcc_1,\hskip 0.3pc c_2\hskip 0.3pc {\rm i} \hskip 0.3pc c_3\hskip 0.3pc \) są to dowolne stałe rzeczywiste.
